2021 年 2 月 6 日星期六，想喝奶茶的一天。
想要 coco 今日推出的奶茶包，可惜要 88 赞。
废话少说，进入正题。
定义 1.1.1 若集合 W ⊆ R n W\subseteq\mathbb{R}^n W⊆Rn 中任意两个不同元素对于加法和数乘皆是封闭的，即任取 x 1 , x 2 ∈ W x_1,x_2\in W x1,x2∈W, λ 1 , λ 2 ∈ R \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R} λ1,λ2∈R 皆有
λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ∈ W , \lambda_1x_1+\lambda_2x_2\in W, λ1x1+λ2x2∈W,
则称集合 W W W 为线性子空间.
举例：过原点的直线、过原点的平面
定义 1.1.2 任取 x i ∈ R n , λ i ∈ R , i ∈ [ m ] , x_i\in\mathbb{R}^n,\lambda_i\in \mathbb{R},i\in [m], xi∈Rn,λi∈R,i∈[m],
若向量 x ∈ R n x\in\mathbb{R}^n x∈Rn 可以表示为
x = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 + ⋯ + λ m x m , x=\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3+\dots+\lambda_mx_m, x=λ1x1+λ2x2+λ3x3+⋯+λmxm,
则称向量 x x x 为向量组 { x i ∣ i ∈ [ m ] } \{x_i|i\in [m]\} {
xi∣i∈[m]} 的线性组合.
与以往认知不同，如果 A A A 是 B B B 的线性组合，则 A A A 是被表示对象， B B B 是表示对象.
定义 1.1.3若线性组合满足 λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 + ⋯ + λ m x m = 0 , \lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3+\dots+\lambda_mx_m=0, λ1x1+λ2x2+λ3x3+⋯+λmxm=0, 当且仅当 λ 1 = λ 2 = λ 3 = ⋯ = λ m = 0 , \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\dots=\lambda_m=0, λ1=λ2=λ3=⋯=λm=0, 则称向量组 { x i ∣ i ∈ [ m ] } \{x_i|i\in [m]\} { xi∣i∈[m]} 线性无关，否则称其线性相关.
线性子空间 W W W 中极大线性无关的向量组成为该线性子空间的基，基中所含向量的个数成为线性子空间的维数.
将由范数 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||·|| ∣∣⋅∣∣ 定义的半径为 r r r，中心为 x x x 的球记为
B ( x , r ) = { y ∈ R n ∣ ∣ ∣ y − x ∣ ∣ ≤ r } , B(x,r)=\{y\in\mathbb{R}^n|||y-x||\leq r\}, B(x,r)={
y∈Rn∣∣∣y−x∣∣≤r},
其中 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ ||·|| ∣∣⋅∣∣ 可以是任意范数，在无特别说明时一般为 2 范数.
【向量的范数】0 范数：向量中非零元素的个数；1 范数：绝对值之和；2 范数：向量的模；无穷范数：向量最大值.
定义 1.1.4给定集合 C ⊆ R n C\subseteq\mathbb{R}^n C⊆Rn 与点 x ∈ C , x\in C, x∈C, 若存在实数 r > 0 r>0 r>0,使得 B ( x , r ) ⊆ C , B(x,r)\subseteq C, B(x,r)⊆C, 则称 x x x 为 C C C 的内点.集合 C C C 的全体内点构成的集合称为 C C C 的内部，记为 i n t C , int\ C, int C, 即
i n t C = { x ∣ B ( x , r ) ⊆ C , ∃ r ∈ R + + } . int\ C=\{x|B(x,r)\subseteq C,{\exists}\ r\in \mathbb{R}_{++}\}. int C={
x∣B(x,r)⊆C,∃ r∈R++}.
定义 1.1.5【开集与闭集】若对于集合 C ⊆ R n C\subseteq\mathbb{R}^n C⊆Rn 中的任意一点 x x x，总存在实数 r > 0 r>0 r>0,使得 B ( x , r ) ⊆ C B(x,r)\subseteq C B(x,r)⊆C,则称集合 C C C 为开集.若集合 C ⊆ R n C\subseteq\mathbb{R}^n C⊆Rn 内的任意点列 x k {x_k} xk 的聚点均属于 C C C，则称为 C C C 为闭集.
简而言之，所有点都是内点的为开集；聚点都属于该集合的为闭集；
【推论】给定集合 C C C 的内部 i n t C int \ C int C 为开集.并且相对于全空间而言，开集与闭集互为补集.
【聚点】任意半径的去心邻域与集合包含无穷多点的点为该集合的聚点，内点一定是聚点，聚点却不一定是内点.
定义 1.1.6【开集与闭集】给定集合 C ⊆ R n C\subseteq\mathbb{R}^n C⊆Rn,将包含集合 C C C 的最小闭集定义为 C C C 的闭包，定义为 c l C cl \ C cl C.进一步，将属于 c l C cl \ C cl C 但不属于 i n t C int \ C int C 的点的全体构成的集合称为 C C C 的边界，记为 b d C bd\ C bd C
有关资料如下：
参考图书：《凸优化理论与算法》
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