高斯分布+柯西-洛伦兹分布+三种光谱线型函数（洛伦兹线型函数+多普勒[高斯]线型函数+vogit 线型函数）-程序员宅基地
更新时间：2020/4/26
文章目录
一、两种分布
1.1 高斯分布（正态分布）
正态分布（英语：normal distribution）又名高斯分布（英语：Gaussian distribution），是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。
若随机变量 X X X 服从一个位置参数为 μ \mu μ、尺度参数为 σ \sigma σ 的正态分布，记为： X ∼ N ( μ , σ 2 ) X \sim N( \mu , \sigma^2 ) X∼N(μ,σ2)
则其概率密度函数为 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\!} f(x)=σ2π1e−2σ2(x−μ)2
正态分布的数学期望值或期望值 μ \mu μ 等于位置参数，决定了分布的位置；其方差 σ 2 \sigma^2 σ2的开平方或标准差 σ \sigma σ 等于尺度参数，决定了分布的幅度。
正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我们通常所说的标准正态分布是位置参数 μ = 0 \mu =0 μ=0，尺度参数 σ 2 = 1 \sigma^2 = 1 σ2=1 的正态分布，这个分布能够简化为：
f ( x ) = 1 2 π exp ( − x 2 2 ) f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \, \exp\left(-\frac{x^2}{2} \right) f(x)=2π1exp(−2x2)。
正态分布的概率密度函数均值为 μ \mu μ 方差为 σ 2 \sigma^2 σ2 (或标准差 σ \sigma σ)是高斯函数的一个实例：
f ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x;\mu,\sigma) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \left( -\frac{(x- \mu)^2}{2\sigma^2} \right) f(x;μ,σ)=σ2π1exp(−2σ2(x−μ)2)。
正态分布中一些值得注意的量：
- 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
- 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
- 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差 2 σ 2 \sigma 2σ 的范围内。
- 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差 3 σ 3 \sigma 3σ 的范围内。
- 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差 4 σ 4 \sigma 4σ 的范围内。
- 函数曲线的拐点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
累积分布函数是指随机变量 X X X小于或等于 x x x 的概率，用概率密度函数表示为
F ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π ∫ − ∞ x exp ( − ( t − μ ) 2 2 σ 2 ) d t . F(x;\mu,\sigma) =\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp \left( -\frac{(t - \mu)^2}{2\sigma^2} \ \right)\, dt. F(x;μ,σ)=σ2π1∫−∞xexp(−2σ2(t−μ)2 )dt.
下图是几个高斯分布的概率密度函数，其中红线是标准高斯分布
下图是与上图颜色对应的 累积概率密度函数：
维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83
1.2 柯西分布（洛伦兹分布）
柯西分布也叫作 柯西-洛伦兹分布，它是以奥古斯丁·路易·柯西与亨德里克·洛伦兹 名字命名的连续概率分布，其概率密度函数为：
其中x0是定义分布峰值位置的位置参数，γ是最大值一半处的一半宽度的尺度参数。
作为概率分布，通常叫作柯西分布，物理学家也将之称为洛伦兹分布或者Breit-Wigner分布。在物理学中的重要性很大一部分归因于它是描述受迫共振的微分方程的解。在光谱学中，它描述了被共振或者其它机制加宽的谱线形状。在下面的部分将使用柯西分布这个统计学术语。
x0 = 0且γ = 1的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为
f ( x ; 0 , 1 ) = 1 π ( 1 + x 2 ) . f(x; 0,1) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}. \! f(x;0,1)=π(1+x2)1.
其累积分布函数为：
F ( x ; x 0 , γ ) = 1 π arctan ( x − x 0 γ ) + 1 2 F(x; x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2} F(x;x0,γ)=π1arctan(γx−x0)+21
柯西分布的逆累积分布函数为
F − 1 ( p ; x 0 , γ ) = x 0 + γ tan ( π ( p − 1 / 2 ) ) . F^{-1}(p; x_0,\gamma) = x_0 + \gamma\,\tan(\pi\,(p-1/2)). \! F−1(p;x0,γ)=x0+γtan(π(p−1/2)).
柯西分布的平均值、方差或者矩都没有定义，它的众数与中值有定义都等于 x0
下图是几个柯西分布的概率密度函数，其中绿线是标准柯西分布
下图是与上图颜色对应的 累积概率密度函数：
维基百科：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E5%88%86%E5%B8%83
二、光谱线型函数
谱线宽度 是指 光谱曲线最大强度的一半处所对应的两个波长之差，定义为 该光谱的谱线的宽度，也称作半宽度。发射光谱半宽度的大小 用来衡量发射光谱 谱线宽窄程度。为更准确得到谱线宽度，需要对谱线线型进行拟合。
谱线的展宽大致分为三类：均匀展宽、非均匀展宽和综合展宽。均匀展宽中自然展宽和碰撞展宽最具代表性，它们的谱线轮廓可以用洛伦兹线型来描述，而由多普勒频移效应导致的多普勒展宽是典型的非均匀展宽例子，谱线轮廓可以用高斯线型来描述。以上两种线型是假设只有一种加宽机制存在的情况，而实际实验中引起谱线展宽的过程不是单一的，总是同时存在几种加宽机制且相互间有一定的联系。此时，总线宽及其线型是由它们按一定的规律合成而得到，称为综合展宽。其中最普遍的是洛伦兹线型和多普勒线型的卷积，可以用 Voigt 线型来描述。
2.1 光谱线型函数的几种形式
光谱线型是发光能量（或功率）、光子数随波长、频率的分布，所以光谱线型函数有四种形式，即光子数按频率的分布函数、光子数按波长的分布函数、能量按频率的分布函数及能量按波长的分布函数。
2.2 洛伦兹线型函数与多普勒（高斯）线型函数
关于多普勒线型函数，有的资料上也叫高斯线型函数。仔细对比就会发现洛伦兹线型函数与洛伦兹分布概率密度函数、高斯线型函数与高斯分布概率密度函数超级相似，了不起就是前边多个系数。个人猜测，俩线型函数是由俩分布推导而来的。
2.3 vogit 线型函数
vogit 线型是洛伦兹线型与多普勒线型的卷积
由于光谱线型中包含有发光粒子的内部结构、粒子间相互作用、周围环境（如温度和压力）等信息,光谱线型的研究在化学反应动力学、气象学、宇宙学等研究领域有很重要的理论意义和应用价值。在实际的发光系统,如多普勒展宽和碰撞展宽共存的气体放电系统中,导致谱线展宽的机制不是孤立、单一存在的,两种展宽机制都存在,光谱线型由它们按一定的规律合成为综合展宽线型。此时线型函数是高斯线型函数和洛伦兹线型函数的卷积形式,被称为 Voigt 线型函数。
参考文章
[1] 武臣. 光谱线型函数及拟合方法的研究[D].
[2] 尹增谦, 武臣, 宫琬钰,等. Voigt线型函数及其最大值的研究[J]. 物理学报, 2013(12):220-224.
【注】：本文大部分内容都来源于上述两篇论文，非常感谢前辈们的研究，写这篇博文主要是为了方便以后查阅而做的笔记。
智能推荐
架构师必读 : 微服务架构设计指南-程序员宅基地
文章浏览阅读109次。每个人都听说过微服务。但你知道怎么设计吗？ 微服务是当今软件工程师的一个热门话题。让我们了解如何使用微服务架构风格构建真正模块化、业务敏捷的IT系统。一、微服务概念微服务体系结构由轻量级、松散耦合的服务集合组成。每个服务都实现了单个业务功能。理想情况下，这些服务应该是具有足够的内聚性，可以独立地开发、测试、发布、部署、扩展、集成和维护。正式定义 “微服务架构风格是一种将单个应用程序开发为一组小型..._微服务工程师 百度百科
2023-2024年人形机器人行业报告合集（精选397份）_高工 人形机器人报告-程序员宅基地
文章浏览阅读710次，点赞22次，收藏17次。2024人形机器人力传感器行业研究报告：人形机器人商业化图景远大，引爆六维力传感器市场空间。2024机器人行业研究报告：英伟达赋能机器人AI超预期，二季度迎机器人定点最大催化。2024人形机器人的Optimus时刻报告：IMU（姿态感知），旧火新茶，其时已至。2024人形机器人报告：MEMS IMU或为人形机器人实现两足运动平衡的最佳方案。2024人形机器人丝杠报告：丝杠作为人形机器人核心传动部件，正面临新一轮产业机遇。2024人形机器人精密减速器报告：机器人核心部件有望持续受益人形机器人产业带动。_高工 人形机器人报告
【史上最易懂】马尔科夫链-蒙特卡洛方法：基于马尔科夫链的采样方法，从概率分布中随机抽取样本，从而得到分布的近似_马尔科夫链期望怎么求-程序员宅基地
文章浏览阅读1.3k次，点赞40次，收藏19次。虽然你不能直接计算每个房间的人数，但通过马尔科夫链的蒙特卡洛方法，你可以从任意状态（房间）开始采样，并最终收敛到目标分布（人数分布）。然后，根据一个规则（假设转移概率是基于房间的人数，人数较多的房间具有较高的转移概率），你随机选择一个相邻的房间作为下一个状态。比如在巨大城堡，里面有很多房间，找到每个房间里的人数分布情况（每个房间被访问的次数），但是你不能一次进入所有的房间并计数。但是，当你重复这个过程很多次时，你会发现你更有可能停留在人数更多的房间，而在人数较少的房间停留的次数较少。_马尔科夫链期望怎么求
linux以root登陆命令,su命令和sudo命令，以及限制root用户登录-程序员宅基地
文章浏览阅读3.9k次。一、su命令su命令用于切换当前用户身份到其他用户身份，变更时须输入所要变更的用户帐号与密码。命令su的格式为：su [-] username1、后面可以跟 ‘-‘ 也可以不跟，普通用户su不加username时就是切换到root用户，当然root用户同样可以su到普通用户。 ‘-‘ 这个字符的作用是，加上后会初始化当前用户的各种环境变量。下面看下加‘-’和不加‘-’的区别：root用户切换到普通..._限制su root登陆
精通VC与Matlab联合编程（六）_精通vc和matlab联合编程 六-程序员宅基地
文章浏览阅读1.2k次。精通VC与Matlab联合编程（六）作者：邓科下载源代码浅析VC与MATLAB联合编程浅析VC与MATLAB联合编程浅析VC与MATLAB联合编程浅析VC与MATLAB联合编程浅析VC与MATLAB联合编程 Matlab C/C++函数库是Matlab扩展功能重要的组成部分,包含了大量的用C/C++语言重新编写的Matlab函数,主要包括初等数学函数、线形代数函数、矩阵操作函数、数值计算函数_精通vc和matlab联合编程 六
Asp.Net MVC2中扩展ModelMetadata的DescriptionAttribute。-程序员宅基地
文章浏览阅读128次。在MVC2中默认并没有实现DescriptionAttribute（虽然可以找到这个属性，通过阅读MVC源码，发现并没有实现方法），这很不方便，特别是我们使用EditorForModel的时候，我们需要对字段进行简要的介绍，下面来扩展这个属性。新建类 DescriptionMetadataProvider然后重写DataAnnotationsModelMetadataPro..._asp.net mvc 模型description
随便推点
eMMC常识性介绍N_emmc温升系数-程序员宅基地
文章浏览阅读4.1k次。原文地址：eMMC常识性介绍N作者：35后时代摘自网络 http://www.up48.com/news.htm eMMC使用厂商 目前针对全球主要手机大厂如诺基亚(Nokia)、三星电子(SamsungElectronics)、摩托罗拉(Motorola)、黑莓(RIM)和乐金电子(LGElectronics)等均已在智能手机或者3G手机等高端产品全面采用e_emmc温升系数
MATLAB算法实战应用案例精讲-【人工智能】机器视觉（概念篇）（最终篇）-程序员宅基地
文章浏览阅读1.4k次。机器视觉逐渐渗入社会生活的方方面面，在人脸识别、图片识别、视频监控、3C应用等各领域几乎都能看到机器视觉的身影，对于工业领域而言，机器视觉的应用更是大大降低了高危作业的危险系数，保障了工业生产的安全性和高效性。
Mac电脑如何串流游戏 Mac上的CrossOver是串流游戏吗 串流游戏是什么意思 串流游戏怎么玩 Mac电脑怎么玩Steam游戏_macos steam和crossover steam区别-程序员宅基地
文章浏览阅读739次，点赞29次，收藏17次。串流游戏，又称云游戏，是一种通过互联网将游戏画面和声音从远程服务器传输到本地设备的技术，让用户可以在任何设备上玩任何游戏，不需要安装游戏，也不需要担心硬件配置和兼容性。如果你是一个Mac电脑的用户，想要在Mac电脑上玩Windows电脑上的游戏，你可以根据你的需求和喜好，选择适合自己的方式，来享受游戏的乐趣。综上所述，我们可以得出结论，Mac电脑可以通过串流游戏的方式，来玩到Windows电脑上的游戏，但是需要选择合适的串流平台，考虑价格、游戏库、性能和兼容性等方面的因素。以下是几款常用的串流游戏平台。_macos steam和crossover steam区别
VS2008+水晶报表 发布后可能无法打印的解决办法_水晶报表 不能打印-程序员宅基地
文章浏览阅读1k次。编好水晶报表代码,用的是ActiveX模式,在本机运行,第一次运行提示安装ActiveX控件,安装后,一切正常,能正常打印,但发布到网站那边运行,可能是一闪而过,连提示安装ActiveX控件也没有,甚至相关的功能图标都不能正常显示,再点"打印图标"也是没反应解决方法是: 1.先下载"PrintControl.cab" http://support.businessobjects.c_水晶报表 不能打印
一. UC/OS-Ⅱ简介_ucos-程序员宅基地
文章浏览阅读1.3k次。绝大部分UC/OS-II的源码是用移植性很强的ANSI C写的。也就是说某产品可以只使用很少几个UC/OS-II调用，而另一个产品则使用了几乎所有UC/OS-II的功能，这样可以减少产品中的UC/OS-II所需的存储器空间（RAM和ROM）。UC/OS-II是为嵌入式应用而设计的，这就意味着，只要用户有固化手段（C编译、连接、下载和固化）， UC/OS-II可以嵌入到用户的产品中成为产品的一部分。1998年uC/OS-II，目前的版本uC/OS -II V2.61，2.72。1.UC/OS-Ⅱ简介。_ucos
python自动化运维要学什么,python自动化运维项目_运维学python该学些什么-程序员宅基地
文章浏览阅读614次，点赞22次，收藏11次。大家好，本文将围绕python自动化运维需要掌握的技能展开说明，python自动化运维从入门到精通是一个很多人都想弄明白的事情，想搞清楚python自动化运维快速入门 pdf需要先了解以下几个事情。这篇文章主要介绍了一个有趣的事情，具有一定借鉴价值，需要的朋友可以参考下。希望大家阅读完这篇文章后大有收获，下面让小编带着大家一起了解一下。_运维学python该学些什么