香农采样定理及其证明_轩动day的博客-程序员信息网_香农采样定理

技术标签: 数字信号处理  

首先对采样最直观的理解就是,如果采样时间间隔过长那么采样得到的信号将不能重构出原信号。也就是说采样时间间隔越短越好,然而由于物理器件的性能,所以需要知道一个采样时间间隔的阈值。超过这个阈值原信号能够完全恢复,没有超过这个阈值则不能完全恢复。不过香农采样定理的定义肯定不是我说的这么粗糙,下面看一下香农采样定理的定义:


从上面的定义来看,貌似有些混乱了。首先需要注意到采样定理的定义是在频率下面。因为支撑集的定义是在经过傅里叶变换之后的频率域。其次,这里不能被那个采样速率迷惑,假设采样速率T等于100,那么r应该是小于等于0.0314才能对原信号进行重构,而频率的倒数刚好和事件成正比,也正好印证了我们的常识。看下面的图,其中X(jw)已经转换到频率域,它的频率范围为[-wM,wM]。假定信号为周期函数,则整个信号的频率域图形为第三行的图。

假设采样频率过慢,也就是ws小于2wM。则得到的周期函数仅仅只是整个信号频率域的一部分,所以就不能恢复出来。因此采样频率为最高频率的两倍就是这个临界阈值。





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