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正文

满足此五个假设的线性回归模型，称为古典线性回归模型(CLRM)

其中四个假定，也可以用 Y i Y_i Yi​表示：

对零均值假定有： E ( Y i ∣ X i ) = β 1 + β 2 X i E(Y_i|X_i)=β_1+β_2X_i E(Yi​∣Xi​)=β1​+β2​Xi​

对同方差假定有： V a r ( Y i ∣ X i ) = σ 2 Var(Y_i|X_i)=σ^2 Var(Yi​∣Xi​)=σ2

对无自相关假定有： C o v ( Y i , Y j ) = 0 ( i ≠ j ) Cov(Y_i,Y_j)=0(i≠j) Cov(Yi​,Yj​)=0(i​=j)

对正态性假定有： Y Y Y~ N ( β 1 + β 2 X i , σ 2 ) N(β_1+β_2X_i,σ^2) N(β1​+β2​Xi​,σ2)

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2.2普通最小二乘估计

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用产生样本概率最大的原则去确定样本回归函数，称为极大似然准则；

用估计剩余平方和最小的原则确定样本回归函数，称为最小二乘准则。

最小二乘法，也称最小二乘估计(OLS或OLSE)

最小二乘法使样本回归函数尽可能地接近总体回归函数，需满足最小二乘准则，使剩余平方和 Σ e i 2 Σe_i^2 Σei2​最小。

即

m i n Σ e i 2 = m i n Σ ( Y i − Y i ^ ) 2 = m i n Σ ( Y i − β 1 ^ − β 2 ^ X i ) 2 minΣe_i^{2=minΣ(Y_i-\hat{Y_i})}2=minΣ(Y_i-\hat{β_1}-\hat{β_2}X_i)^2 minΣei2​=minΣ(Yi​−Yi​^{​)2=minΣ(Yi​−β1​}​−β2​^​Xi​)2

…

β 2 ^ = Σ ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) Σ ( X i 2 − X ^ ) = x i y i x i 2 \hat{β_2}=\frac{Σ(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{Σ(X_i^{2-\hat{X})}=\frac{x_iy_i}{x_i}2} β2​^{​=Σ(Xi2​−X})Σ(Xi​−X)(Yi​−Y)​=xi2​xi​yi​​

β 1 ^ = Y ‾ − β 2 ^ X ‾ \hat{β_1}=\overline{Y}-\hat{β_2}\overline{X} β1​^{​=Y−β2​}​X

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2.3OLS回归性质

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用普通最小二乘法拟合的样本回归线有以下性质

1. 样本回归线通过样本均值。

2. 估计值 Y i ^ \hat{Y_i} Yi​^​的均值 Σ Y i ^ n \frac{Σ\hat{Y_i}}{n} nΣYi​^​​等于实际 Y i Y_i Yi​的均值。

3. 剩余项 e i e_i ei​的均值的为0。

4. 被解释变量估计值 Y i ^ \hat{Y_i} Yi​^​与剩余项 e i e_i ei​不相关。

5. 解释变量 X i X_i Xi​与剩余项 e i e_i ei​不相关。

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2.4最小二乘估计量的统计性质

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2.4.1 参数估计量的评价标准

选择参数估计量时应考虑以下一些标准：

1.无偏性

如果参数的估计量 β ^ \hat{β} β^​的期望等于参数的真实值β，即 E ( β ^ ) = β E(\hat{β})=β E(β^​)=β，则称 β ^ \hat{β} β^​是参数β的无偏估计量。

如果参数估计量 β ∗ β^* β∗是期望值不等于参数β的真实值，则称 β ∗ β^* β∗是有偏的，其偏倚为 E ( β ∗ ) − β E(β^*)-β E(β∗)−β，也称系统误差。无偏即无系统误差。

计量经济研究中应尽可能寻找符合无偏性要求的参数估计量。

2.有效性

一个估计量若不仅有无偏性，而且具有最小方差性，则称这个估计量为有效估计量。

即对于参数β的无偏估计量 β ^ \hat{\beta} β^​，如果对于参数的任意一个无偏估计量 β ∗ \beta^* β∗，都有 V a r ( β ^ ) ≤ V a r ( β ∗ ) Var(\hat{β})≤Var(β^*) Var(β^​)≤Var(β∗)，则称 β ^ \hat{β} β^​是参数β的有效估计量。

或者说， β ^ \hat{β} β^​较 β ∗ β^* β∗有效。

3.一致性

样本容量趋于无穷大时，如果估计量， β ^ \hat{β} β^​的抽样分布依概率收敛于总体参数真实值β，即

P lim ⁡ n → ∞ β ^ = β P \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \hat{\beta}=β Pn→∞lim​β^​=β

或 lim ⁡ n → ∞ P [ ( ∣ β ^ − β ∣ ) ＜ ε ] = 1 \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}P[(|\hatβ-β|)＜ε]=1 n→∞lim​P[(∣β^​−β∣)＜ε]=1

也就是说，当样本容量n→∞时，估计量 β ^ \hat{β} β^​与总体参数真实值β的距离 β ^ − β \hat{β}-β β^​−β的绝对值小于任意给定正数ε的概率等于1，则称估计量 β ^ \hat{β} β^​为一致估计量。

（也称相合性，相合估计量）

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2.4.2OLS估计量的统计特性

在古典假定完全满足的情况下，回归模型参数的最小二乘估计量具有以下统计性质。

1.线性特性

由 β 2 ^ = x i y i x i 2 \hat{β_2}=\frac{x_iy_i}{x_i^2} β2​^​=xi2​xi​yi​​，详细过程略

可以有 β 2 ^ = Σ k i Y i \hat{β_2}=Σk_iY_i β2​^​=Σki​Yi​，其中 k i k_i ki​是一组常数，所以 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​是 Y i Y_i Yi​的线性相关函数。

类似也有， β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​是 Y i Y_i Yi​的线性相关函数。

2.无偏性

E ( β 2 ^ ) = β 2 E(\hat{β_2})=β_2 E(β2​^​)=β2​

E ( β 1 ^ ) = β 1 E(\hat{β_1})=β_1 E(β1​^​)=β1​

这表明最小二乘法估计的参数 β 1 β_1 β1​和 β 2 β_2 β2​的期望值等于总体回归函数参数的真实值 β 1 β_1 β1​和 β 2 β_2 β2​，所以OLS估计式是无偏估计量。

3.有效性

普通最小二乘估计 β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​具有最小的方差。证明过程略。

也可以用标准误差度量估计量的精确性，标准误差(standard error)是方差的平方根，可以用SE表示。

V a r ( β 2 ^ ) = σ 2 Σ x i 2 Var(\hat{β_2})=\frac{σ^2}{Σx_i2} Var(β2​^​)=Σxi2​σ2​

V a r ( β 1 ^ ) = σ 2 ∑ X i 2 n ∑ x i 2 Var(\hat{β_1})=σ^2 \frac{\sum{X_i^2}}{n \sum{x_i^2}} Var(β1​^​)=σ2n∑xi2​∑Xi2​​

S E ( β 2 ^ ) = σ ∑ x i 2 SE(\hat{β_2})=\frac{σ}{\sqrt{\sum x_i^2}} SE(β2​^​)=∑xi2​ ​σ​

S E ( β 1 ^ ) = σ ∑ X i 2 n ∑ x i 2 SE(\hat{β_1})=σ \sqrt{\frac{\sum X_i^2}{n \sum x_i^2}} SE(β1​^​)=σn∑xi2​∑Xi2​​ ​

其中 σ 2 σ^2 σ2作为总体随机扰动项 u i u_i ui​的方差是未知的，也需要通过样本估计。

用 σ 2 ^ = ∑ e i 2 n − 2 \hat{σ^2}=\frac{\sum e_i^2}{n-2} σ2^=n−2∑ei2​​计算的 σ 2 σ^2 σ2的估计值 σ 2 ^ \hat{σ^2} σ2^是对 σ 2 σ^2 σ2的无偏估计。

e i 2 e_i^2 ei2​是剩余平方和；n-2是自由度。

综上，OLS估计量 β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​是总体参数 β 1 β_1 β1​和 β 2 β_2 β2​的最佳线性无偏估计量。(Best linear unbiased estimator,BLUE)。这个结论也称高斯-马尔可夫定理。

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③拟合优度的度量

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所估计样本回归线对样本观测数据拟合的优劣程度，称为样本回归线的拟合优度。

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3.1总变差的分解

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• 被解释变量Y的样本观测值与其平均值的离差平方和 ∑ ( Y i − Y ‾ ) 2 = ∑ y i 2 \sum{(Y_i-\overline{Y})^2}=\sum{y_i2} ∑(Yi​−Y)2=∑yi2​，称为总变差或总离差平方和(total sum of squares)。用TSS表示。

• 被解释变量Y的样本估计值与其平均值的离差平方和 ∑ ( Y i ^ − Y ‾ ) 2 = ∑ y i ^ 2 \sum{(\hat{Y_i}-\overline{Y})}^{2=\sum{\hat{y_i}}2} ∑(Yi​^{​−Y)2=∑yi​}​2，称为回归解释平方和。是由模型回归线作出解释的变差，用ESS表示。

• 被解释变量观测值与估计值之间的平方和 ∑ ( Y i − Y i ^ ) 2 = ∑ e i 2 \sum{(Y_i-\hat{Y_i})}^2= \sum{e_i^2} ∑(Yi​−Yi​^​)2=∑ei2​，是回归线未作出解释的平方和，称为残差平方和(residualc sum of squares)，用RSS*表示。(未解释平方和)

三者关系：

TSS=ESS+RSS

∑ ( Y i − Y ‾ ) 2 = ∑ ( Y i ^ − Y ‾ ) 2 + ∑ ( Y i − Y i ^ ) 2 \sum{(Y_i-\overline{Y})}^{2=\sum{(\hat{Y_i}-\overline{Y})}}2+\sum{(Y_i-\hat{Y_i})}^2 ∑(Yi​−Y)2=∑(Yi​^{​−Y)2+∑(Yi​−Yi​}​)2

∑ y i 2 = ∑ y i ^ 2 + ∑ e i 2 \sum{y_i^{2}=\sum{\hat{y_i}}2}+\sum{e_i^2} ∑yi2​=∑yi​^​2+∑ei2​

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3.2可决系数

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TSS=ESS+RSS

1 = E S S T S S + R S S T S S = 解 释 平 方 和 的 权 重 + 未 解 释 平 方 和 的 权 重 1 = \frac{ESS}{TSS}+\frac{RSS}{TSS}=解释平方和的权重+未解释平方和的权重 1=TSSESS​+TSSRSS​=解释平方和的权重+未解释平方和的权重

其中解释平方和的权重可以作为综合度量回归模型对样本观测值拟合优度的指标，这一比例成为可决系数。在简单线性回归中一般用 r 2 r^2 r2或 R 2 R^2 R2表示，即

R 2 = ∑ ( Y i ^ − Y ‾ ) 2 ∑ ( Y i − Y ‾ ) 2 = y i 2 ^ y i 2 R^{2=\frac{\sum{(\hat{Y_i}-\overline{Y})}}2}{\sum{(Y_i-\overline{Y})}^{2}=\frac{\hat{y_i}2}}{y_i^2} R2=∑(Yi​−Y)2∑(Yi​^{​−Y)2​=yi2​yi2​}​​

或 R 2 = 1 − ∑ ( Y i − Y i ^ ) 2 ∑ ( Y i − Y ‾ ) 2 = 1 − ∑ e i 2 ∑ y i 2 R^{2=1-\frac{\sum{(Y_i-\hat{Y_i})}}2}{\sum{(Y_i-\overline{Y})^{2}}=1-\frac{\sum{e_i}2}}{\sum{y_i^2}} R2=1−∑(Yi​−Y)2∑(Yi​−Yi​^​)2​=1−∑yi2​∑ei2​​

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3.3可决系数与相关系数的关系

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一元线性回归中，可决系数 R 2 R^2 R2在数值上，是简单线性相关系数r的平方。即

r = ± R 2 r=± \sqrt{R^2} r=±R2 ​

但二者在概念上是明显区别的。

r X Y = ∑ ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) ∑ ( X i − X ‾ ) 2 ∑ ( Y i − Y ‾ ) 2 r_{XY}=\frac{\sum(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)}{\sqrt{\sum{(X_i-\overline{X})^2} \sum{(Y_i-\overline Y)^2}}} rXY​=∑(Xi​−X)2∑(Yi​−Y)2 ​∑(Xi​−X)(Yi​−Y)​

R 2 = [ ∑ ( X i − X ‾ ) ( Y i − Y ‾ ) ] 2 ∑ ( X i − X ‾ ) 2 ∑ ( Y i − Y ‾ ) 2 R^2=\frac{[\sum(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)]^{2}{\sum{(X_i-\overline{X})}2} \sum{(Y_i-\overline Y)^2}} R2=∑(Xi​−X)2∑(Yi​−Y)2[∑(Xi​−X)(Yi​−Y)]2​

可决系数取值范围为 0 ≤ R 2 ≤ 1 0≤R^2≤1 0≤R2≤1；不相关系数可正可负，取值范围为 − 1 ≤ r ≤ 1 -1≤r≤1 −1≤r≤1。

④回归系数的假设检验和区间估计

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4.1 OLS估计的分布性质

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在古典假定条件下，假定随机扰动项 u i u_i ui​服从正态分布，则 Y i Y_i Yi​也服从正态分布。

又因为 β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​， β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​都是 Y i Y_i Yi​的线性函数，所以即使在小样本情况下， β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​也服从正态分布。在大样本情况下，即使 Y i Y_i Yi​不服从正态分布， β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​也会趋于正态分布。

β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​的具体分布可表示为：

β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​~ N ( β 1 , σ 2 ∑ X i 2 n ∑ x i 2 ) N(β_1,σ^2 \frac{\sum{X_i^2}}{n \sum{x_i^2}}) N(β1​,σ2n∑xi2​∑Xi2​​)

β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​~ N ( β 2 , σ 2 Σ x i 2 ) N(β_2,\frac{σ^2}{Σx_i2}) N(β2​,Σxi2​σ2​)

将 β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​做标准化转换：

z 1 = β 1 ^ − β 1 S E ( β 1 ^ ) z_1=\frac{\hat{β_1}-β_1}{SE(\hat{β_1})} z1​=SE(β1​^​)β1​​−β1​​~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)

z 2 = β 2 ^ − β 2 S E ( β 2 ^ ) z_2=\frac{\hat{β_2}-β_2}{SE(\hat{β_2})} z2​=SE(β2​^​)β2​​−β2​​~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)

β 1 ^ \hat{β_1} β1​^​和 β 2 ^ \hat{β_2} β2​^​的方差即标准正态变量 z 1 z_1 z1​， z 2 z_2 z2​的确定，都要涉及随机扰动项 u i u_i ui​的方差 σ 2 σ^2 σ2，而总体随机扰动项 u i u_i ui​是随机变量，其方差是未知的，只能通过 σ 2 ^ = ∑ e i 2 n − 2 \hat{σ^2}=\frac{\sum e_i^2}{n-2} σ2^=n−2∑ei2​​计算 σ 2 σ^2 σ2的无偏估计 σ 2 ^ \hat{σ^2} σ2^。

在大样本情况下，用无偏估计 σ 2 ^ \hat{σ^2} σ2^替代 σ 2 σ^2 σ2，可计算参数估计值的标准误差，这个时候标准化后的 z 1 z_1 z1​， z 2 z_2 z2​仍可视为标准正态分布变量。

小样本情况下，其不再服从正态分布，而是服从自由度为n-2的t分布。t~ t ( n − 2 ) t(n-2) t(n−2)

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4.2 回归系数的假设检验

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对回归系数假设检验的基本思路是，在所估计样本的回归系数概率分布性质已确定的基础上，在对总体回归系数某种原假设(或称零假设)成立的条件下，利用适当的有明确概率分布的统计量和给定的显著性水平α，构造一个小概率事件。判断原假设合理与否，是基于“小概率事件不会发生”的原理。如果小概率事件发生了，就拒绝原假设，不拒绝备择假设。

对总体参数假设检验可能有不同的要求，可以检验总体参数是否等于、大于或小于某特定数值 β ∗ β^* β∗，这时假设检验分别为 H 0 : β 2 = β 2 ∗ H_0:β_2=β_2^* H0​:β2​=β2∗​、 H 0 : β 2 ≥ β 2 ∗ H_0:β_2≥β_2^* H0​:β2​≥β2∗​、 H 0 : β 2 ≤ β 2 ∗ H_0:β_2≤β_2^* H0​:β2​≤β2∗​。

也可以检验总体参数是否等于0。

原假设和备择假设的设定方式不同，判断是否拒绝区域的方式也不同。

设定 H 0 : β 2 = β 2 ∗ H_0:β_2=β_2^* H0​:β2​=β2∗​， H 1 ： β 2 ≠ β ∗ H_1：β_2≠β^* H1​：β2​​=β∗，进行的是双侧检验；

设定 H 0 : β 2 ≥ β 2 ∗ H_0:β_2≥β_2^* H0​:β2​≥β2∗​， H 1 ： β 2 ＜ β 2 ∗ H_1：β_2＜β_2^* H1​：β2​＜β2∗​，

或设定 H 0 : β 2 ≤ β 2 ∗ H_0:β_2≤β_2^* H0​:β2​≤β2∗​， H 1 ： β 2 ＞ β 2 ∗ H_1：β_2＞β_2^* H1​：β2​＞β2∗​，进行的是单侧检验。

**在计量经济学中，为了检验所建立的回归模型中解释变量对被解释变量是否有显著影响，经常把回归系数 β 2 = 0 β_2=0 β2​=0作为原假设。

假设检验的三种方法：①临界值②置信区间③P值

临界值法需要先 构建检验统计量。

• 构建z统计量

当 σ 2 σ^2 σ2已知，或样本容量充分大时，根据样本计算的 z ∗ z^* z∗有， z ∗ = β 2 ^ − β 2 S E ( β 2 ^ ) z^*=\frac{\hat{β_2}-β_2}{SE(\hat{β_2})} z∗=SE(β2​^​)β2​​−β2​​~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)。

可利用服从正态分布的 z ∗ z^* z∗统计量。从正态分布表查z的临界值。如给定显著性水平α=0.05，则z临界值为1.96。把根据样本计算的z^*与z的临界值作比较，如果 − 1.96 ≤ z ∗ ≤ 1.96 -1.96≤z^*≤1.96 −1.96≤z∗≤1.96，就不能拒绝原假设 H 0 : β 2 = β 2 ∗ H_0:β_2=β_2^* H0​:β2​=β2∗​，即认为 β 2 β_2 β2​显著不等于 β 2 ∗ β_2^* β2∗​

• 计量经济研究中，通常面临的是 σ 2 σ^2 σ2未知，且样本容量较小。通常使用 σ 2 ^ = ∑ e i 2 n − 2 \hat{σ^2}=\frac{\sum e_i^2}{n-2} σ2^=n−2∑ei2​​去替代 σ 2 σ^2 σ2，构建的是t统计量。

t = β 2 ^ − β 2 S E ( β 2 ^ ) t=\frac{\hat{β_2}-β_2}{SE(\hat{β_2})} t=SE(β2​^​)β2​​−β2​​~ t ( n − 2 ) t(n-2) t(n−2)。

由t分布表可知，自由度为n-2对应概率为α/2的临界值 t α / 2 ( n − 2 ) t_{α/2}(n-2) tα/2​(n−2)。

如果 − t α / 2 ≤ t ≤ t α / 2 -t_{α/2}≤t≤t_{α/2} −tα/2​≤t≤tα/2​，则不能拒绝原假设 H 0 : β 2 = 0 H_0:β_2=0 H0​:β2​=0，即认为解释变量对被解释变量没有显著性影响；反之，如果 t ＜ − t α / 2 t＜-t_{α/2} t＜−tα/2​ 或 t ＞ t α / 2 t＞t_{α/2} t＞tα/2​，就拒绝 H 0 ： : β 2 = 0 H_0：:β_2=0 H0​：:β2​=0，不拒绝 H 1 ： : β 2 ≠ 0 H_1：:β_2≠0 H1​：:β2​​=0，即认为对应解释变量对被解释变量有显著影响。

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4.3回归系数的区间估计

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参数的区间估计与假设检验既有联系也有区别。

假设检验是根据已知样本观测值，判断它是否与总体参数作的某一个假设相一致；而参数区间估计主要回答什么样的区间包含总体参数真实值以及可靠程度问题。

对回归系数的区间估计，可分为以下三种情况：

最后

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