【FinE】资产组合理论(2) 均值方差模型-程序员宅基地

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资产组合理论(1)

资产组合的可行集

建立预期收益率 E ( R p ) − σ p E(R_p)-\sigma_p E(Rp​)−σp​坐标系，如果投资者选择了所有可能的投资比例，则这些资产组合点将在坐标系上构成一个区域，该区域被称为可行集或可行域.
portfolio area

有效集

在理性人假设下，投资者是风险厌恶的，在一定收益下，投资者将选择风险最小的投资组合；子一定风险下，投资者将选择收益最大的资产组合，同时满足这两个条件的资产集合就是有效集或者有效边界，位于有效边界的资产组合就是有效组合.

最优资产组合

满足投资者无差异曲线和有效集的切点就是最优组合点.
opt

模型求解

最小方差资产组合

在一定预期收益率 μ \mu μ下，选择资产组合使其风险最小，即求解如下形式问题
min ⁡ 1 2 σ p 2 = 1 2 w T V w s . t . { 1 T w = 1 E ( R p ) = w T E ( R ) ≥ μ \min \frac{1}{2}\sigma_p^2=\frac{1}{2}\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}\\ s.t. \begin{cases} &\mathbf{1}^T\pmb{w}=1\\ &E(R_p)=\pmb{w}^TE(\mathbf{R})\geq \mu \end{cases} min21​σp2​=21​wwwTVVVwwws.t.{ ​1Twww=1E(Rp​)=wwwTE(R)≥μ​
使用Lagrange乘数法求解，构造广义目标函数 L L L
L = 1 2 w T V w + λ 1 ( 1 − w T 1 ) + λ 2 ( μ − w T E ( R ) ) L=\frac{1}{2}\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}+\lambda_1(1-\pmb{w}^T\bf{1})+\lambda_2(\mu-\pmb{w}^TE(\mathbf{R})) L=21​wwwTVVVwww+λ1​(1−wwwT1)+λ2​(μ−wwwTE(R))
求出一阶条件为
{ L w = V w − λ 2 E ( R ) − λ 2 1 = 0 L λ 1 = 1 − 1 T w = 0 L λ 2 = μ − E ( R ) T w = μ − E ( R p ) = 0 (1) \left\{ \begin{aligned} &L_w=\pmb{V}\pmb{w}-\lambda_2E(\pmb{R})-\lambda_2\mathbf{1}=0\\ &L_{\lambda_1}=1-\mathbf{1}^T\pmb{w}=0\\ &L_{\lambda_2}=\mu-E(\mathbf{R})^T\pmb{w}=\mu-E(\mathbf{R}_p)=0 \end{aligned} \right.\tag{1} ⎩⎪⎨⎪⎧​​Lw​=VVVwww−λ2​E(RRR)−λ2​1=0Lλ1​​=1−1Twww=0Lλ2​​=μ−E(R)Twww=μ−E(Rp​)=0​(1)
可以解出
w ∗ = V − 1 ( λ 1 1 + λ 2 E ( R ) ) 1 = λ 1 1 T V − 1 1 + λ 2 1 T V − 1 E ( R ) μ = λ 1 E ( R ) T V − 1 1 + λ 2 E ( R ) T V − 1 E ( R ) (2) \begin{aligned} &\pmb{w}^*=\pmb{V}^{-1}(\lambda_1\mathbf{1}+\lambda_2E(\mathbf{R}))\\ &1=\lambda_1\mathbf{1}^T\mathbf{V}^{-1}\mathbf{1}+\lambda_2\mathbf{1}^T\mathbf{V}^{-1}E(\mathbf{R})\\ &\mu=\lambda_1E(\mathbf{R})^T\mathbf{V}^{-1}\mathbf{1}+\lambda_2E(\mathbf{R})^T\mathbf{V}^{-1}E(\mathbf{R}) \end{aligned}\tag{2} ​www∗=VVV−1(λ1​1+λ2​E(R))1=λ1​1TV−11+λ2​1TV−1E(R)μ=λ1​E(R)TV−11+λ2​E(R)TV−1E(R)​(2)
令
a = 1 T V − 1 1 b = 1 T V − 1 E ( R ) c = E ( R ) T V − 1 E ( R ) Δ = a c − b 2 \begin{aligned} &a=\mathbf{1}^T\mathbf{V}^{-1}\mathbf{1}\\ &b=\mathbf{1}^T\mathbf{V}^{-1}E(\mathbf{R})\\ &c=E(\mathbf{R})^T\mathbf{V}^{-1}E(\mathbf{R})\\ &\Delta=ac-b^2 \end{aligned} ​a=1TV−11b=1TV−1E(R)c=E(R)TV−1E(R)Δ=ac−b2​
解出方程组 ( 2 ) (2) (2)为
λ 1 = c − μ b Δ λ 2 = μ a − b Δ \begin{aligned} \lambda_1=\frac{c-\mu b}{\Delta} \\ \lambda_2=\frac{\mu a-b}{\Delta} \end{aligned} λ1​=Δc−μb​λ2​=Δμa−b​​
将 λ 1 \lambda_1 λ1​和 λ 2 \lambda_2 λ2​代入方程组 ( 2 ) (2) (2)可以得到最小方差资产组合权重
w ∗ = V − 1 [ ( c − μ b ) 1 Δ + ( μ a − b ) E ( R ) Δ ] = V − 1 ( c 1 − b E ( R ) ) Δ + μ a E ( R ) − b 1 Δ (3) \begin{aligned} \pmb{w}^*&=\pmb{V}^{-1}[\frac{(c-\mu b)\mathbf{1}}{\Delta}+\frac{(\mu a-b)E(\pmb{R})}{\Delta}]\\ &=\frac{\pmb{V}^{-1}(c\mathbf{1}-bE(\mathbf{R}))}{\Delta}+\mu\frac{aE(\mathbf{R})-b\mathbf{1}}{\Delta} \end{aligned}\tag{3} www∗​=VVV−1[Δ(c−μb)1​+Δ(μa−b)E(RRR)​]=ΔVVV−1(c1−bE(R))​+μΔaE(R)−b1​​(3)
将 w ∗ \pmb{w}^* www∗代入目标函数，得到最小组合方差为
σ p 2 = w T V w = w V ( λ 1 V − 1 1 + λ 2 V − 1 E ( R ) ) = λ 1 + μ λ 2 = a μ 2 − 2 μ b + c Δ (4) \begin{aligned} \sigma_p^2&=\pmb{w}^T\pmb{V}\pmb{w}=\pmb{w}\pmb{V}(\lambda_1\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}+\lambda_2\mathbf{V}^{-1}E(\mathbf{R})) \\ &=\lambda_1+\mu\lambda_2\\ &=\frac{a\mu^2-2\mu b+c}{\Delta} \end{aligned}\tag{4} σp2​​=wwwTVVVwww=wwwVVV(λ1​VVV−11+λ2​V−1E(R))=λ1​+μλ2​=Δaμ2−2μb+c​​(4)
注意到在求解过程中需要进行矩阵求逆的计算，时间复杂度为 O ( n 3 ) \mathcal{O}(n^3) O(n3).

案例

一个资产组合，其预期收益率矩阵为 E ( R ) = [ 0.05 , 0.1 ] E(\mathbf{R})=[0.05, 0.1] E(R)=[0.05,0.1]，协方差矩阵是 V = [ 1 0 0 1 ] \mathbf{V}=\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right] V=[10​01​]，预期收益率为 0.075 0.075 0.075，求最小方差资产组合的权重和方差.

解析

根据公式计算组合参数
{ a = 1 T V 1 = [ 1 , 1 ] [ 1 0 0 1 ] [ 1 1 ] b = 1 T V − 1 E ( R ) = [ 1 , 1 ] [ 1 0 0 1 ] [ 0.05 0.1 ] c = E ( R ) T V E ( R ) = [ 0.05 , 0.1 ] [ 1 0 0 1 ] [ 0.05 0.1 ] Δ = a c − b 2 \left\{ \begin{aligned} &a=\mathbf{1}^T\pmb{V}\mathbf{1}=[1, 1]\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}\right] \\ &b=\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})=[1, 1]\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0.05\\ 0.1\end{matrix}\right] \\ &c=E(\mathbf{R})^T\pmb{V}E(\mathbf{R})=[0.05, 0.1]\left[\begin{matrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}0.05\\ 0.1\end{matrix}\right]\\ &\Delta = ac-b^2 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​​a=1TVVV1=[1,1][10​01​][11​]b=1TVVV−1E(R)=[1,1][10​01​][0.050.1​]c=E(R)TVVVE(R)=[0.05,0.1][10​01​][0.050.1​]Δ=ac−b2​
求出最小方差权重 w ∗ \pmb{w}^* www∗的表达式
w ∗ = V − 1 ( c 1 − b E ( R ) ) Δ + μ a E ( R ) − b 1 Δ \pmb{w}^*=\frac{\pmb{V}^{-1}(c\mathbf{1}-bE(\mathbf{R}))}{\Delta}+\mu\frac{aE(\mathbf{R})-b\mathbf{1}}{\Delta} www∗=ΔVVV−1(c1−bE(R))​+μΔaE(R)−b1​

代码

import numpy as np
from numpy import dot
from numpy.linalg import inv
def portfolio_weight(E, R, V, mu):
    V=inv(V)
    a=dot(E, dot(V, E))
    b=dot(E, dot(V, R))
    c=dot(R, dot(V, R))
    D=a*c-b**2
    return (dot(V, (c*E-b*R)))/D+mu/D*(dot(V, a*R-b*E))

def main():
    E=np.ones(2)
    R=np.array([0.05, 0.1])
    V=np.eye(2)
    mu=0.075
    w=portfolio_weight(E, R, V, mu)
    print('weight of min variance {}'.format(w))
    
main()

全局最小方差

根据方差和期望的公式
σ p 2 = ( a μ 2 − 2 b μ + c ) / Δ \sigma_p^2=(a\mu^2-2b\mu+c)/\Delta σp2​=(aμ2−2bμ+c)/Δ
求出极值点
∂ σ p 2 ∂ μ = 2 a μ − 2 b Δ = 0 μ = b a \frac{\partial \sigma_p^2}{\partial \mu}=\frac{2a\mu-2b}{\Delta}=0\\ \mu=\frac{b}{a} ∂μ∂σp2​​=Δ2aμ−2b​=0μ=ab​
得到全局最小方差为
σ p 2 = 1 a \sigma_p^2=\frac{1}{a} σp2​=a1​
分解最小方差权重 w ∗ \pmb{w}^* www∗
w ∗ = V − 1 ( λ 1 1 + λ 2 E ( R ) ) = λ 1 V − 1 1 + λ 2 V − 1 E ( R ) = V − 1 1 a + V − 1 E ( R ) b = V − 1 1 1 T V − 1 1 + V − 1 E ( R ) 1 T V − 1 E ( R ) = ( λ 1 a ) w g + ( λ 2 b ) w d (5) \begin{aligned} \pmb{w}^*&=\pmb{V}^{-1}(\lambda_1\mathbf{1}+\lambda_2E(\mathbf{R}))\\ &=\lambda_1\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}+\lambda_2\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})\\ &=\frac{\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}}{a}+\frac{\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})}{b} \\ &=\frac{\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}}+\frac{\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})}{\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})}\\ &=(\lambda_1a)\pmb{w}_g+(\lambda_2 b)\pmb{w}_d \end{aligned}\tag{5} www∗​=VVV−1(λ1​1+λ2​E(R))=λ1​VVV−11+λ2​VVV−1E(R)=aVVV−11​+bVVV−1E(R)​=1TVVV−11VVV−11​+1TVVV−1E(R)VVV−1E(R)​=(λ1​a)wwwg​+(λ2​b)wwwd​​(5)
其中 w d \pmb{w}_d wwwd​为可分散的资产组合权重.

案例

一个资产组合，其预期收益率矩阵为 E ( R ) = [ 0.2 , 0.5 ] T E(\mathbf{R})=[0.2, 0.5]^T E(R)=[0.2,0.5]T，协方差矩阵为 V = [ 1 0 0 1 ] \pmb{V}=\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right] VVV=[10​01​]求全局最小方差组合和可分散资产组合权重.

解析

根据公式 ( 5 ) (5) (5)可以计算出
w g = V − 1 1 1 T V − 1 1 w d = V − 1 E ( R ) 1 T V − 1 E ( R ) \begin{aligned} &\pmb{w}_g=\frac{\pmb{V}^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\mathbf{V}^{-1}\mathbf{1}}\\ &\pmb{w}_d=\frac{\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})}{\mathbf{1}^T\pmb{V}^{-1}E(\mathbf{R})} \end{aligned} ​wwwg​=1TV−11VVV−11​wwwd​=1TVVV−1E(R)VVV−1E(R)​​
全局最小方差时 w ∗ = w g \pmb{w}^*=\pmb{w}_g www∗=wwwg​

代码

import numpy as np
from numpy import dot
from numpy.linalg import inv
def portfolio_global_weight(E, R, V):
    V=inv(V)
    wg=dot(V, E)/dot(dot(E, V), E)
    wd=dot(V, R)/dot(dot(E, V), R)
    return (wg, wd)

def main():
    E=np.ones(2)
    R=np.array([0.2, 0.5])
    V=np.eye(2)
    w=portfolio_global_weight(E, R, V)
    print('weight of global min variance {}'.format(w[0]))
    print('dispersible assert weight is {}'.format(w[1]))
    
main()
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