智能反射面| 关于UPA信道建模_uniform planar array-程序员宅基地
前言
这篇文章想讲一下 智能反射面中 UPA （uniform planar array）的信道建模。 之前在智能反射面| Matlab代码实现的信道仿真一文中， 很简略地给了一个基本的UPA仿真代码， 这篇更详细地说一下 关于 面天线 的建模。
当然了， UPA并不只使用于智能反射面中， 尽管在科研方向上， 为了简化问题， 在MIMO问题中大家假设的往往都是线天线阵（ULA）， 但实际中往往都是二维的UPA天线。 而在智能反射面中， 作者们实在无法睁眼说瞎话地假设智能反射面是一个线阵了， 毕竟人家名字里都带着一个“面”字还是要“面子”的。 也因此，在IRS方向中， UPA阵列的信道建模更普遍。
结论
先说结论， 是对需要只需要答案而不求甚解的读者的尊重。
对于一个 P × Q P\times Q P×Q的UPA天线阵列， 即共有 P P P行， Q Q Q列天线。 则对于 ( θ , ϕ ) (\theta, \phi) (θ,ϕ)方向的响应可以写为( θ \theta θ为水平角， 被称为azimuth angle, ϕ \phi ϕ 为 仰角， 被称为 elevation angle) ：
a ( θ , ϕ ) = 1 P Q [ 1 , ⋯ , e ȷ π ( p sin θ sin ϕ + q cos ϕ ) , ⋯ e ȷ π ( ( Q − 1 ) sin θ sin ϕ + ( P − 1 ) cos ϕ ) ] T (1) \begin{array}{r} \mathbf{a}(\theta, \phi)=\frac{1}{\sqrt{PQ}}\left[1, \cdots, e^{\jmath \pi(p \sin \theta \sin \phi+q \cos \phi)}, \cdots\right. \left.e^{\jmath \pi((\sqrt{Q}-1) \sin \theta \sin \phi+(\sqrt{P}-1) \cos \phi)}\right]^{T} \end{array} \tag{1} a(θ,ϕ)=PQ1[1,⋯,eȷπ(psinθsinϕ+qcosϕ),⋯eȷπ((Q−1)sinθsinϕ+(P−1)cosϕ)]T(1)
其中 p p p 和 q q q 代表了第 p p p行，第 q q q列的天线， 注意， 是从0行0列开始计数的。 另外需要注意的一点是， 这是默认天线以半波长为间隔。 如果你看到的指数项是类似于 e ȷ 2 π λ d e^{\jmath \frac{2\pi}{\lambda}d} eȷλ2πd 之类的形式， 其实是一样的， 因为我们一般默认 d = 1 2 λ d = \frac{1}{2}\lambda d=21λ。
对于（1）， 还有一个非常常用且笔者更推荐的形式：
a ( θ , ϕ ) = a y ( θ , ϕ ) ⊗ a z ( ϕ ) (2) \mathbf{a}(\theta, \phi)=\mathbf{a}_y(\theta, \phi) \otimes \mathbf{a}_z(\phi) \tag{2} a(θ,ϕ)=ay(θ,ϕ)⊗az(ϕ)(2)
其中，
a y ( θ , ϕ ) ≜ 1 Q [ 1 , e j π sin θ l sin ϕ l , … , e j π ( Q − 1 ) sin θ l sin ϕ l ] T a z ( ϕ l ) ≜ 1 P [ 1 , e j π cos ϕ l , … , e j π ( P − 1 ) cos ϕ l ] T \mathbf{a}_{y}(\theta, \phi) \triangleq \frac{1}{\sqrt{Q}}[1, e^{\mathrm{j}\pi\sin\theta_l\sin\phi_l}, \dots, e^{\mathrm{j}\pi(Q-1)\sin\theta_l\sin\phi_l}]^T\\ \mathbf{a}_{z}(\phi_l) \triangleq \frac{1}{\sqrt{P}}[1, e^{\mathrm{j}\pi\cos\phi_l}, \dots, e^{\mathrm{j}\pi(P-1)\cos\phi_l}]^T ay(θ,ϕ)≜Q1[1,ejπsinθlsinϕl,…,ejπ(Q−1)sinθlsinϕl]Taz(ϕl)≜P1[1,ejπcosϕl,…,ejπ(P−1)cosϕl]T
这里显然(2)比(1)清爽了很多， 很容易验证， 两者是等价的。
有了天线响应， 那么信道也就非常容易建模了。 对于发送端和接收端都是UPA阵列的情况下， 多径信道可以写为
H = N r N t ∑ l = 0 L α l a r , l ( θ l , ϕ l ) a t , l H ( ψ l , γ l ) \mathbf{H}=\sqrt{N_{\mathrm{r}} N_{\mathrm{t}}} \sum_{l=0}^{L} \alpha_{l} \mathbf{a}_{\mathrm{r}, l}\left(\theta_{l}, \phi_{l}\right) \mathbf{a}_{\mathrm{t}, l}^{H}\left(\psi_{l}, \gamma_{l}\right) H=NrNtl=0∑Lαlar,l(θl,ϕl)at,lH(ψl,γl)
简而言之， 对于每一径，信道就是接收的 a \mathbf{a} a 与 发送端的 a \mathbf{a} a 的 共轭转置相乘， 再乘上一个标量系数。
UPA详细建模
（1）和（2）是怎么来的呢？ 事实上， 他基于且必须基于下图中的建模：
如图：
- 假设UPA建立在yz平面上， 且原点为UPA的左下角第一个元素。
- θ \theta θ为用户投影到 x y xy xy平面后， 与 x x x轴夹角
- ϕ \phi ϕ为用户与 z z z轴负半轴夹角。 可以这样理解： UPA天线的一列就是一条直线， 用户相当于一个点， 那么一条直线+线外的一个点构成了一个平面。 那么在这个平面上就是普通的ULA天线的情形。 那么决定这列天线响应的就是天线的入射角， 显然就是 ϕ \phi ϕ.
以这样的建模， 是可以推出 (1)和（2）式的。
怎么说呢？ 以 ϕ \phi ϕ为例。 不考虑UPA的水平方向， 比如令 Q = 1 Q=1 Q=1， 也就是说只有一列， 此时UPA退化为一个ULA。 那么我们都知道， ULA的响应是什么呢？ 是以入射波与ULA的夹角作为入射角。 那么在ULA的这个三维建模中， 这个入射角， 显然， 就是且必须是 用户 与 z z z轴负半轴的夹角。 因为UPA中的竖直方向其实就是 z z z轴， 那么竖直方向上的入射夹角就是用户与 z z z的夹角。 或者， 更容易理解的， z z z轴与用户， 一线一点构成一个平面， 这个平面就是ULA的平面。 那么谁是入射角， 一目了然。
至于 θ \theta θ角为什么这么建模？ 推导太繁琐了， 不写出了， 按立体几何再利用远场近似就能推导。 这里想说的是其实很简单， (1)中为什么是 sin θ \sin\theta sinθ而不是 cos θ \cos\theta cosθ呢？ 因为按照图中的建模， θ \theta θ角的范围显然是-90度到90度之间， 而这样 cos θ \cos\theta cosθ的取值范围只有[0,1]， 但 sin θ \sin\theta sinθ的取值范围是[-1,1]。 无疑是后者。
响应求导
天线响应对于 θ \theta θ和 ϕ \phi ϕ的求导， 在推算CRLB或者优化的时候， 很有用， 那结果是什么呢？ 利用(2)外加一个经典的结论：
d ( U ⊗ V ) = d ( U ) ⊗ V + U ⊗ d ( V ) \mathrm{d}(\mathbf{U}\otimes \mathbf{V}) = \mathrm{d}(\mathbf{U})\otimes \mathbf{V} +\mathbf{U}\otimes \mathrm{d}(\mathbf{V}) d(U⊗V)=d(U)⊗V+U⊗d(V)
结合（2）， 很容易有：
∂ a ( θ , ϕ ) ∂ θ = ( j π cos θ sin ϕ [ 0 , 1 … , Q − 1 ] T ⊙ a y ( θ , ϕ ) ) ⊗ a z ( ϕ ) ∂ a ( θ , ϕ ) ∂ ϕ = ( j π sin θ cos ϕ [ 0 , 1 … , Q − 1 ] T ⊙ a y ( θ , ϕ ) ) ⊗ a z ( ϕ ) + a y ( θ , ϕ ) ⊗ ( − j π sin ϕ [ 0 , 1 , … , P − 1 ] T ⊙ a z ( ϕ ) ) \frac{\partial\mathbf{a}(\theta,\phi)}{\partial\theta}=\left(\mathrm{j} \pi \cos \theta \sin \phi[0,1 \ldots, Q-1]^{T} \odot \mathbf{a}_{y}(\theta, \phi)\right) \otimes \mathbf{a}_{z}(\phi)\\ \frac{\partial\mathbf{a}(\theta,\phi)}{\partial\phi}=\begin{array}{l} \left(\mathrm{j} \pi \sin \theta \cos \phi[0,1 \ldots, Q-1]^{T} \odot \mathbf{a}_{y}(\theta, \phi)\right) \otimes \mathbf{a}_{z}(\phi) +\mathbf{a}_{y}(\theta, \phi) \otimes\left(-\mathrm{j} \pi \sin \phi[0,1, \ldots, P-1]^{T} \odot \mathbf{a}_{z}(\phi)\right) \end{array} ∂θ∂a(θ,ϕ)=(jπcosθsinϕ[0,1…,Q−1]T⊙ay(θ,ϕ))⊗az(ϕ)∂ϕ∂a(θ,ϕ)=(jπsinθcosϕ[0,1…,Q−1]T⊙ay(θ,ϕ))⊗az(ϕ)+ay(θ,ϕ)⊗(−jπsinϕ[0,1,…,P−1]T⊙az(ϕ))
其中 ⊙ \odot ⊙是哈达玛积。
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