技术标签： 自动驾驶
Kabsch算法【1】由W.Kabsch在1976年提出的，用于求解最优旋转，在分子生物学，特别是比较蛋白质的相似性方面有重要的应用。
文章【2】将其应用在传感器外参标定上，即对属于同一目标的两批三维点，通过Kabsh算法求得其旋转矩阵R。
设 P P P和 Q Q Q是同一个目标在不同坐标系下的两组点， p i p_i pi和 q i q_i qi是集合内的第 i i i个点。令两个坐标系的旋转为 R R R，平移为 T T T，那么Kabsch求解下述优化问题：
(1) m i n E = 1 N ∑ i = 1 N ∣ ∣ R p i − q i + T ∣ ∣ 2 2 minE = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{||Rp_i-q_i+T||_2^2}\tag{1} minE=N1i=1∑N∣∣Rpi−qi+T∣∣22(1)
由(1)式，可以推得
(2) m i n N E = ∑ i = 1 N ∣ ∣ p i , − q i ∣ ∣ 2 2 = T r ( ( P ′ − Q ) T ( P ′ − Q ) ) minNE =\sum_{i=1}^{N}{||p_i^,-q_i||_2^2}=Tr((P'-Q)^T(P'-Q))\tag{2} minNE=i=1∑N∣∣pi,−qi∣∣22=Tr((P′−Q)T(P′−Q))(2)
其中 p i ′ = R p i p_i'=Rp_i pi′=Rpi， P ′ = R P P'=RP P′=RP， T r ( ) Tr() Tr()是求迹运算
根据迹的性质，有
T r ( ( P ′ − Q ) T ( P ′ − Q ) ) = T r ( P ′ T P ′ ) + T r ( Q T Q ) − 2 T r ( Q T P ′ ) Tr((P'-Q)^T(P'-Q))=Tr(P'^TP')+Tr(Q^TQ)-2Tr(Q^TP') Tr((P′−Q)T(P′−Q))=Tr(P′TP′)+Tr(QTQ)−2Tr(QTP′)
又因为 P ′ T P ′ = P T R T R P = P T P P'^TP'=P^TR^TRP=P^TP P′TP′=PTRTRP=PTP（旋转矩阵为正交矩阵），有
(3) N E = T r ( P T P ) + T r ( Q T Q ) − 2 T r ( Q T P ′ ) NE=Tr(P^TP)+Tr(Q^TQ)-2Tr(Q^TP')\tag{3} NE=Tr(PTP)+Tr(QTQ)−2Tr(QTP′)(3)
求(2)式的最小值相当于求(3)式内 T r ( Q T P ′ ) Tr(Q^TP') Tr(QTP′)的最大值
T r ( Q T P ′ ) = T r ( Q T R P ) = T r ( P Q T R ) Tr(Q^TP')=Tr(Q^TRP)=Tr(PQ^TR) Tr(QTP′)=Tr(QTRP)=Tr(PQTR)
对 P Q T PQ^T PQT做SVD分解，有
T r ( Q T P ′ ) = T r ( V Σ W T R ) = T r ( Σ W T R V ) = ∑ i = 1 3 σ i T i i Tr(Q^TP')=Tr(V\Sigma W^TR)=Tr(\Sigma W^TRV)=\sum_{i=1}^3{\sigma_iT_{ii}} Tr(QTP′)=Tr(VΣWTR)=Tr(ΣWTRV)=i=1∑3σiTii
其中 T = W T R V T=W^TRV T=WTRV
因为 R R R和 V V V都是正交矩阵，因此 T T T正交，即 ∣ T i i ∣ ≤ 1 |T_{ii}|\leq 1 ∣Tii∣≤1，因此
T r ( Q T P ′ ) ≤ ∑ i = 1 3 σ i Tr(Q^TP')\leq \sum_{i=1}^3{\sigma_i} Tr(QTP′)≤i=1∑3σi
即 W T R V = 1 W^TRV=1 WTRV=1为所求：
(4) R = W V T R=WV^T\tag{4} R=WVT(4)
这里需要注意的是 R R R必须是右手系下的旋转，因此(4)式修正为
(5) R = W [ 1 0 0 0 1 0 0 0 d ] V T R=W\left[ \begin {matrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&d \end {matrix} \right]V^T\tag{5} R=W⎣⎡10001000d⎦⎤VT(5)
其中 d = s i g n ( d e t ( P Q T ) ) d=sign(det(PQ^T)) d=sign(det(PQT))
根据上一节的讨论，可以得到Kabsch算法求解旋转矩阵R的步骤
【1】Kabsch W . A Solution of the Best Rotation to Relate Two Sets of Vectors[J]. Acta Crystallographica Section A Foundations of Crystallography, 1976, A32(5).
【2】Chai Z, Sun Y, Xiong Z. A Novel Method for LiDAR Camera Calibration by Plane Fitting[C]//2018 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM). IEEE, 2018: 286-291.
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